Уравнение потребления Эйлера

Уравнение потребления Эйлера (Consumption Euler Equation) описывает оптимальное межвременное распределение потребления домохозяйства, максимизирующего полезность.

Помимо прочего, уравнение является ключевым компонентом оптимальных решений в макроэкономических динамических моделях. Уравнение должно учитывать положительное предпочтение времени (то есть тот факт, что сегодняшнее потребление будет перенесено на потребление завтра).

Ситуация

Репрезентативное домашнее хозяйство делает свой потребительский выбор таким образом, что оно хочет максимизировать свою функцию межвременной полезности. В целом, потребитель имеет, например, так называемую функцию стоимости, которая получается как сумма отдельных взвешенных функций полезности. Например, эта проблема может выглядеть так:

V_t=\sum_{s=0}^\infty\beta U(C_{t,s})

при условии положительной, но убывающей предельной полезности (U'(c)>0,U''(c)<0). Существует также коэффициент дисконтирования 0<\beta<\frac1{1+\theta}<1. Коэффициент дисконтирования отражает положительное временное предпочтение, то есть потребление в более поздние времена должно показаться людям менее ценным, чем потребление в текущем периоде. Кроме того, должны быть соблюдены следующие бюджетные ограничения:

\Delta a_{t+s+1}+c_{t+s}=x_{t+s}+r_{t+s}a_{t+s}

где t обозначает соответствующий период, а s — индекс. Кроме того, a_t — чистые активы, x_t — доход домохозяйства, а r_t — процентная ставка, выплачиваемая за финансовые активы. Поскольку эта проблема связана с переменными в разные периоды, ее можно решить методами динамического программирования. Можно также прийти к решению с помощью вариационного исчисления или принципа максимума Понтрягина. Поскольку нет стохастической задачи, также можно использовать более простой метод множителей Лагранжа.

Решение и интерпретация в 2-периодном случае

Для простоты рассмотрим двухпериодный случай (t=0,s=\left[0,1\right]). Здесь задается вопрос о том, насколько увеличится потребление в следующем периоде (c_{t+1}), если уменьшить небольшое потребление тока (c_t) на небольшую величину (dc_t), так что общее значение (V_t) остается неизменным.

Решение в 2-периодном случае

Уравнение Эйлера в этом случае дает:

\beta\frac{U'(c_2)}{U'(c_1)}(1+r_2)=1.

Были сделаны дальнейшие упрощения (условия трансверсальности), согласно которым, например, передача активов не должна была осуществляться до первого периода, а также после последнего периода не должно существовать ни активов, ни долгов. Также процентная ставка в обоих периодах может быть одинаковой.

Смежный график показывает решение c_t^\ast,c_{t+1}^\ast как тангенциальное пересечение функции V_t и межвременного ограничения ресурса. Точки перехвата этого ограничения ресурса следует понимать как максимальные значения потребления за период. На пересечении с абсциссой c_t является максимальным, что означает, что в следующем периоде c_{t+1} вообще ничего не расходуется, но весь будущий доход уже потрачен (о заимствованиях и платежах в следующем периоде). Аналогично, ординатное пересечение означает ситуацию, в которой все будет сохранено в первый год, а затем будет потребляться как доход, так и проценты во втором периоде. Наклон линии ограничения равен -(1+r) и, следовательно, не зависит от дохода. Изменение дохода приведет к параллельному смещению прямой линии, изменению процентной ставки к повороту.